一、 单项选择题

1. 下列各式不能表示变量 $y$$y$ 与 $x$$x$ 具有函数关系的是（ ）

   A. $y=x-1$$y = x - 1$ | B. $y=\frac{-2}{x+1}$$y = \frac{-2}{x + 1}$ | C. $x^2=4y$$x^2 = 4y$ | D. $y^2=x^2$$y^2 = x^2$

2. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）

   A. $f(x)=|x|,g(x)=\sqrt{x^2}$$f(x) = |x|, g(x) = \sqrt{x^2}$ | B. $f(x)=\sqrt{x^2},g(x)=(\sqrt{x}{)}^2$$f(x) = \sqrt{x^2}, g(x) = (\sqrt{x})^2$

   C. $f(x)=\frac{x^2-x}{x-1},g(x)=x$$f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1}, g(x) = x$ | D. $f(x)=(\sqrt{-x}{)}^2,g(x)=\sqrt{x^2}$$f(x) = (\sqrt{-x})^2, g(x) = \sqrt{x^2}$

3. 若函数 $y=f(3x-1)$$y = f(3x - 1)$ 的定义域是 $[1,3]$$[1, 3]$，则 $y=f(x)$$y = f(x)$ 的定义域是（ ）

   A. $[1,3]$$[1, 3]$ | B. $[2,4]$$[2, 4]$ | C. $[2,8]$$[2, 8]$ | D. $[3,9]$$[3, 9]$

4. 幂函数 $f(x)=(m^2-m-1)x^{m^2+2m-3}$$f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 + 2m - 3}$ 在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$$(0, +\infty)$ 上单调递增，且 $a+b>0$$a + b > 0$，则 $f(a)+f(b)$$f(a) + f(b)$ 的值（ ）

   A. 恒大于 0 | B. 恒小于 0 | C. 等于 0 | D. 无法判断

5. 设 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{l}\sqrt{x},0<x<1\\ 2(x-1),x\ge 1\end{array}\end{array}$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2(x - 1), x \ge 1 \end{cases}$，若 $f(m)=f(m+1)$$f(m) = f(m + 1)$，则 $f(\frac{1}{m})$$f(\frac{1}{m})$ 等于（ ）

   A. 12 | B. 16 | C. 2 | D. 6

6. 已知定义在 $[a-1,2a]$$[a-1, 2a]$ 上的偶函数 $f(x)$$f(x)$，且当 $x\in [0,2a]$$x \in [0, 2a]$ 时，$f(x)$$f(x)$ 单调递减，则关于 $x$$x$ 的不等式 $f(x-1)>f(2x-3a)$$f(x-1) > f(2x-3a)$ 的解集是（ ）

   A. $(0,\frac{2}{3})$$(0, \frac{2}{3})$ | B. $[\frac{1}{6},\frac{5}{6}]$$[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}]$ | C. $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ | D. $(\frac{2}{3},\frac{5}{6}]$$(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$

7. 若函数 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2ax+3,x\le 1\\ ax+1,x>1\end{array}\end{array}$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2ax + 3, x \le 1 \\ ax + 1, x > 1 \end{cases}$ 是 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$ 上的减函数，则 $a$$a$ 的取值范围是（ ）

   A. $[-3,-1]$$[-3, -1]$ | B. $(-\mathrm{\infty },-1]$$(-\infty, -1]$ | C. $[-1,0)$$[-1, 0)$ | D. $[-2,0)$$[-2, 0)$

8. (2024·新课标全国 I) 已知函数 $f(x)$$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$$f(x) > f(x-1) + f(x-2)$，且当 $x<3$$x < 3$ 时 $f(x)=x$$f(x) = x$，则结论正确的是（ ）

   A. $f(10)>100$$f(10) > 100$ | B. $f(20)>1000$$f(20) > 1000$ | C. $f(10)<1000$$f(10) < 1000$ | D. $f(20)<10000$$f(20) < 10000$

二、 多项选择题

1. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0,+\mathrm{\infty })$$(0, +\infty)$ 上单调递增的是（ ）

   A. $y=x$$y = x$ | B. $y=|x|+1$$y = |x| + 1$ | C. $y=x^{\frac{2}{3}}$$y = x^{\frac{2}{3}}$ | D. $y=-\frac{1}{x}$$y = -\frac{1}{x}$

2. 如果幂函数 $f(x)=m{x}^{\alpha }$$f(x) = mx^\alpha$ 的图象过点 $(2,\frac{1}{4})$$(2, \frac{1}{4})$，则说法正确的是（ ）

   A. $m=1,\alpha =-2$$m = 1, \alpha = -2$ | B. $f(x)$$f(x)$ 是偶函数 | C. $f(x)$$f(x)$ 是减函数 | D. $f(x)$$f(x)$ 的值域为 $(0,+\mathrm{\infty })$$(0, +\infty)$

3. 已知函数 $f(x)$$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$$f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y)$，则（ ）

   A. $f(0)=0$$f(0) = 0$ | B. $f(1)=0$$f(1) = 0$ | C. $f(x)$$f(x)$ 是奇函数 | D. $f(x)$$f(x)$ 是偶函数

三、 填空题

1. 若函数 $f(x)$$f(x)$ 满足 $f(\frac{x+1}{x})=x$$f(\frac{x+1}{x}) = x$，则 $f(x)$$f(x)$ 的解析式为 __。
2. 已知 $f(x)$$f(x)$ 是 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$ 上的奇函数，在 $(0,+\mathrm{\infty })$$(0, +\infty)$ 上单调递减，$f(-5)=0$$f(-5) = 0$，则不等式 $(x-3)f(x)>0$$(x-3)f(x) > 0$ 的解集是 __。
3. 已知 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{l}|x^2+4x-5|,x\le a\\ ax-33,x>a\end{array}\end{array}$$f(x) = \begin{cases} |x^2 + 4x - 5|, x \le a \\ ax - 33, x > a \end{cases}$ 满足 $\mathrm{\forall }{x}_1\ne x_2,\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$$\forall x_1 \ne x_2, \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0$，则实数 $a$$a$ 的取值范围为 __。

四、 解答题

1. (1) 求函数 $f(x)=\frac{2}{\sqrt{x+1}}-\frac{x+4}{x^2-4}$$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{x+4}{x^2-4}$ 的定义域，并计算 $f(f(0))$$f(f(0))$ 的值。

   (2) 画出函数 $g(x)=1+\frac{|x|-x}{2}(-2<x\le 2)$$g(x) = 1 + \frac{|x|-x}{2} (-2 < x \le 2)$ 的图象，并写出其值域。

2. 某商场经销一批进价为每件 30 元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 $x$$x$(元) 与日销售量 $y$$y$(件) 之间有如下关系（其中 $30\le x\le 50$$30 \le x \le 50$ 且 $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$x \in \mathbb{N}^*$）：

   

   (1) 在坐标纸中描出对应点，并确定 $y$$y$ 与 $x$$x$ 的一个函数关系式。

   (2) 设日销售利润为 $P$$P$ 元，写出 $P$$P$ 关于 $x$$x$ 的函数式，并指出单价为多少时利润最大。

3. 已知奇函数 $f(x)$$f(x)$ 和偶函数 $g(x)$$g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=3x^2+\frac{x^2+4}{x}+5$$f(x) + g(x) = 3x^2 + \frac{x^2+4}{x} + 5$。

   (1) 求 $f(x)$$f(x)$ 的解析式。

   (2) 判断并证明 $f(x)$$f(x)$ 在区间 $(0,2)$$(0, 2)$ 上的单调性。

4. 已知幂函数 $y=f(x)$$y = f(x)$ 的图象过点 $(2,\sqrt{2})$$(2, \sqrt{2})$。

   (1) 求 $f(x)$$f(x)$ 解析式，并证明其在 $[0,+\mathrm{\infty })$$[0, +\infty)$ 上的单调性。

   (2) $g(x)$$g(x)$ 为 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$ 上的偶函数，当 $x\ge 0$$x \ge 0$ 时 $g(x)=f(x)$$g(x) = f(x)$，求 $g(1-m)\le \sqrt{5}$$g(1-m) \le \sqrt{5}$ 时 $m$$m$ 的范围。